11111…

 Los números primos son los bloques fundamentales con los que se construyen el resto de números. El teorema fundamental de la aritmética nos garantiza que todo número se descompone de manera única (salvo orden) en producto de números primos.

Conocer tal descomposición no es un problema sencillo, de hecho esta dificultad es la base de los sistemas de seguridad informáticos. En este post vamos a ver una particularidad que tienen los números formados únicamente por "unos" y los números primos. En concreto, vamos a ver el siguiente resultado:

Para todo primo $p$ distinto de $2$ y $5$ existe un número entero formado solo por "unos" (en base 10) que tiene a $p$ como divisor. 

Es decir, para cualquier primo que no sea ni 5 ni 2, como por ejemplo el 13, hay un número como el 1111 tal que 13 es uno de sus divisores. Veamos cómo se prueba este resultado.

Demostración:

Lo primero es ver cómo son los números formados por unos. Por ejemplo, para 111 nos damos cuenta de que $$111=\frac{999}{9}=\frac{1000-1}{9}=\frac{10^3-1}{9}.$$

Con este ejemplo es fácil darse cuenta de que un número formado por $n$ "unos" es de la forma $$\frac{10^n-1}{9}.$$ Ahora que ya tenemos estos números caracterizados, tomamos $p$ un primo distinto de $2$ y $5$ e intentamos buscar $n$ tal que $p$ divida a $(10^n-1)/9$. Si $p\neq 3$, entonces $p$ dividirá al número anterior si y solo si divide al numerador $10^n-1$, ya que al dividir $10^n-1$ entre $9$ tan solo le hemos quitado el factor $3^2$ en su descomposición. 

Ahora bien, que $p$ divida a $10^n-1$ es equivalente a decir que $$10^n-1\equiv 0 \mod{p},$$ o lo que es lo mismo, que $$10^n\equiv 1 \mod{p},$$ es decir, que dividir $10^n$ entre $p$ da como resto $1$. Ahora podemos invocar el conocido como pequeño teorema de Fermat, el cual nos dice que:

Si $p$ es primo y $a$ es un entero que no es múltiplo de $p$, entonces 

$$a^{p-1}\equiv 1 \mod{p}.$$

En nuestro caso, como $p$ no era ni $2$ ni $5$, el número $10^n$ no es múltiplo de $p$ por lo que al aplicar el pequeño teorema de Fermat deducimos que

$$
10^{p-1}\equiv 1\mod{p}.
$$

Por tanto, queda probado que para $p$ primo distinto de $2,3$ y $5$ el número por $p-1$ "unos" es un múltiplo de $p$. Para $p=3$ también se cumple el resultado, ya que por ejemplo, $3$ divide a $111$.

De esta demostración podemos sacar una conclusión más, y es que no solo hemos probado la existencia del número formado por "unos", también hemos descrito cómo es. Este es, salvo para $p=3$, un número formado por $p-1$ "unos". Es decir, si tomamos un primo como el 29, entonces el número formado por 28 "unos" es un múltiplo de de 29. ¿No es sorprendente?

 Recíprocamente, si nos dan un número formado por $n$ "unos" y resulta que $n+1$ es primo entonces este es uno de sus divisores. Por ejemplo, el $1\ 111\ 111\ 111$ Está formado por 10 “unos”, y como 11 es primo entonces el número anterior se pude dividir por 11. Haciendo uso de la calculadora podemos comprobar que efectivamente $$\frac{1\ 111\ 111\ 111}{11}=101\ 010\ 101.$$

Es cierto que es un criterio que solo se puede usar en contadas ocasiones, pero por ello, a mi no me deja de parecer bello. ¿Qué os ha parecido este resultado? ¿Lo conocíais ya? Os invito a dejar vuestras opiniones en los comentarios.