EL PROBLEMA DE LAS CERILLAS

Recientemente he visto este problema en Twitter. Consiste en probar que los puntos rojos están alineados.

El usuario que lo propone es @panlepan y en el hilo del tweet original podréis ver numerosas soluciones. Muchas de ellas realmente elegantes. 

Aquí el hilo https://twitter.com/panlepan/status/1416812851205918722?s=21

UNA POSIBLE SOLUCIÓN

Veamos ahora la solución que propongo. Por supuesto, admitimos que todas las cerillas miden lo mismo. Bien, al ser un problema geométrico, los triángulos rectángulos van a ser nuestros amigos, así que vamos a trazar algunas líneas extras.

Obviamente la imagen anterior no está bien dibujada, ya que los puntos rojos deberían estar alineados, pero así podremos entendernos mejor. 

Los triángulos rectángulos que vamos a manejar son los siguientes. El primero es el formado por los segmentos verde, azul y la mitad de la cerilla superior.  El segundo triángulo es el compuesto por los segmentos morado, rosa y el formado por la cerilla superior y la línea amarilla. Es decir, estos dos triángulos negros de aquí. 

La cuestión es, que si los puntos rojos estuvieran alineados, entonces estos dos triángulos serían semejantes, ya que ambos tendrían los mismos ángulos. Y recíprocamente, estarán alineados si tales triángulos son semejantes. Para comprobar que dos triángulos rectángulos son semejantes nos basta con comprobar que el cociente de las longitudes de dos de sus lados es la misma. En particular podemos calcular las longitudes de los catetos de ambos triángulos y calcular su cociente.  

Comencemos con el triángulo más pequeño. Si la longitud de cada cerilla es $L$, (como se verá, el resultado es completamente independiente de este valor) entonces es claro que uno de los catetos de este triángulo mide $L/2$. El otro cateto se corresponde con el segmento azul de la primera imagen, y es claro que este segmento más la longitud del segmento naranja coincide con la longitud de las cerillas, es decir, el segmento azul más el naranja miden $L$. Ahora bien, el segmento naranja no es más que la altura del triángulo equilátero formado por las tres cerillas de abajo. Esta altura es precisamente $\frac{\sqrt{3}}{2}L$. Para el que no sepa como se deduce esto, basta con usar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por la altura del triángulo equilátero, uno de sus lados y la mitad de la base. Entonces la longitud del segmento azul es la longitud de las cerillas menos esta cantidad, es decir, es 

$$L-\frac{\sqrt{3}}{2}L = L\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$$

Si hacemos el cociente del cateto menor entre el mayor se obtiene  

$$\frac{L\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{L/2}=2-\sqrt{3}.$$

En cuanto al triángulo grande, el cateto rosa es claramente la mitad de la longitud de las cerillas, es decir, $L/2$. El cateto mayor es la suma de la longitud de una cerilla más la longitud del segmento amarillo, el cual es de nuevo la altura de un triángulo equilátero de lado $L$, y al igual que antes su valor es $\frac{\sqrt{3}}{2}L$, luego el cateo mayor mide 

$$L+\frac{\sqrt{3}}{2}L=L\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$$

Por tanto el cociente del cateto menor entre el mayor es  $$\frac{L/2}{L\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}.$$

Entonces efectivamente, ambos triángulos son semejantes y por lo tanto los tres puntos rojos están alineados. 

¿Qué os ha parecido este problema? ¿Fácil o complicado? Os invito a que veáis las soluciones que se dan en el hilo del tweet y que os animéis a escribir las vuestras propias.