Sin entrar demasiado en detalles físicos, supondremos que la antena recibe información en forma de rayos. Como los satélites que envían estos rayos se encuentra a bastante distancia, supondremos además que estos rayos llegan paralelos a la superficie terrestre. Es decir, la situación sería algo como lo que se muestra en la imagen.
Es conocido que los rayos que rebotan en una superficie lo hacen con un ángulo de salida igual al ángulo de entrada (medido ambos sobre la perpendicular a la superficie). En este dibujo podemos ver un ejemplo.
Ahora bien, la antena parabólica no es una superficie recta, sin embargo en cada punto de su superficie podemos considerar el plano tangente. Este plano es el que tenemos que tomar como referencia para ver cómo sale el rayo tras rebotar. Como estamos considerando simplemente una parábola, este plano será la recta tangente que pasa por dicho punto.
Bien, a partir de aquí vamos a estudiar cómo salen los rayos que entran perpendiculares a la superficie terrestre. Para ello consideramos la parábola $y=x^2$, y por tanto, la superficie terrestre es paralela al eje $X$ y los rayos vienen paralelos al eje $Y$.
Los rayos que caen no serían más que rectas el tipo $x=x_0$, es decir, rectas verticales. Estas rectas tocarán a la parábola en el punto $(x_0,x_0^2)$, ya que hemos supuesto que la parábola tiene como ecuación $y=x^2$. Es bien conocido que la pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada en dicho punto. En nuestro caso sería $y'=2x$ y por tanto la pendiente en el punto $x_0$ sería simplemente $2x_0$.
También es sabido que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma la recta con el eje $X$. Es decir, que $2x_0=\tan\alpha$ donde $\alpha$ se marca en el siguiente dibujo.
La cuestión ahora es calcular la ecuación de la recta que forma el rayo reflejado. Para ello nos fijamos en que el ángulo que realiza con el eje $X$ es $\frac{\pi}{2}-2\alpha$ como vemos en el dibujo.
Este ángulo está medido por debajo del eje $X$, así que debemos considerarlo cambiado de signo para que esté bien medido, es decir, $2\alpha-\frac{\pi}{2}$. Recordando las fórmulas trigonométricas de los ángulos complementarios deducimos que la pendiente de la recta que buscamos es
$$m=\tan\left(2\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sin(2\alpha-\pi/2)}{\cos(2\alpha-\pi/2)}=
\frac{-\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}=\frac{-1}{\tan(2\alpha)}.
$$
Utilizando ahora la fórmula de la tangente de la suma de ángulos
$$
\tan(A+B)=\frac{\tan(A)+\tan(B)}{1-\tan(A)\tan(B)}
$$
se obtiene que
$$
\tan(2\alpha)=\frac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}.
$$
$$
\tan(A+B)=\frac{\tan(A)+\tan(B)}{1-\tan(A)\tan(B)}
$$
se obtiene que
$$
\tan(2\alpha)=\frac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}.
$$
Como teníamos que $\tan(\alpha)=2x_0$, deducimos finalmente que la pendiente de la recta que buscamos es
$$m=\frac{-1}{\tan(2\alpha)}=-\frac{1-4x_0^2}{4x_0}=x_0-\frac{1}{4x_0}.
$$
Ya sabiendo la pendiente de la recta y teniendo en cuenta que esta pasa por el punto $(x_0,x_0^2)$ podemos sacar la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente, con lo que obtenemos
$$
y-x_0^2=\left(x_0-\frac{1}{4x_0}\right)(x-x_0).
$$
Operando la expresión anterior llegamos a que
$$
y=x\left(x_0-\frac{1}{4x_0}\right)+\frac{1}{4}.
$$
$$
y-x_0^2=\left(x_0-\frac{1}{4x_0}\right)(x-x_0).
$$
Operando la expresión anterior llegamos a que
$$
y=x\left(x_0-\frac{1}{4x_0}\right)+\frac{1}{4}.
$$
Esta es la expresión de la recta del rayo tras rebotar que se obtiene para cualquier punto $x_0$. Podemos observar que independientemente del valor $x_0$ la recta siempre pasa por el punto $(0,1/4)$. Entonces es en este punto donde debemos colocar el receptor para que cualquier rayo que rebote en la antena pueda ser recibido.
DETALLES TÉCNICOS
Para los más puristas, hay un par de detalles que hay que comentar. El primero es que todo el razonamiento anterior no es válido si $\alpha=0$, ya que tendríamos un cero en el denominador. El punto donde la parábola tiene como recta tangente una recta con pendiente cero, es decir, una recta horizontal, es claramente el punto $(0,0)$. En este caso el rayo pasa directamente por el receptor.
Tampoco es válido del todo la prueba cuando $1-\tan^2(\alpha)=0$, ya que anula al denominador. En este caso el ángulo que verifica esta igualdad es $\pm\pi/4$. Como $\tan(\pm\pi/4)=\pm 1=2x_0$, entonces los puntos donde la recta tangente tiene estos ángulos son $x_0=\pm 1/2$. Entonces los rayos verticales coinciden con las rectas $x=\pm 1/2$, que cortan a la parábola en los puntos $(\pm 1/2,1/4)$. Como hacen un ángulo de $\pm\pi/4$ con la horizontal, es claro que el rayo reflejado sale paralelo al eje $X$, y por tanto, este rayo coincide con la recta $y=1/4$, que pasa precisamente por el receptor.
Otro detalle importante es que todo el razonamiento que hemos hecho es válido para cualquier tipo de parábola, aunque claro está el receptor no estará en el mismo lugar. Para ver esto imaginemos que la parábola es de la forma $y=ax^2+bx+c$ con $a> 0$. En este caso sumando y restando el término
$b^2/4a$ obtenemos que
$$
y=ax^2+bx+c+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{4a}=\left(\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}.
$$
Ahora llamando $b^2/4a$ obtenemos que
$$
y=ax^2+bx+c+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{4a}=\left(\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}.
$$
$$
z=\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}}
$$
obtenemos la ecuación
$$
y=z^2+c-\frac{b^2}{4a}.
$$Esta es la misma parábola que teníamos al principio (pero en la variable $z$) desplazada $c-b^2/4a$ en dirección vertical. La pendiente de las rectas tangentes no cambia porque estamos sumando una constante. La única diferencia en el razonamiento del post sería que ahora la recta para por el punto $(z_0,z_0^2+c-b^2/4a)$, por lo que ahora el receptor nos saldrá que debe estar colocado en el punto
$$
\left(0,\frac{1}{4}+c-\frac{b^2}{4a}\right).
$$
Esto es en los ejes $Z,Y$. Si queremos saber qué punto es este en los ejes originales tan solo tenemos que deshacer el cambio sustituyendo el valor $z=0$. Despejando $x$ nos da que el punto donde hemos de colocar el receptor en una parábola del tipo $ax^2+bx+c$ es el punto
$$
\left(-\frac{b}{2a},\frac{1}{4}+c-\frac{b^2}{4a}\right),
$$
algo lógico teniendo en cuenta que el eje de una parábola es la recta $x=-b/2a$.
\left(-\frac{b}{2a},-\frac{1}{4}+c-\frac{b^2}{4a}\right).
$$
Esto es si $a>0$. Si $a<0$ entonces la antena estaría apuntando hacia "abajo" y los rayos al rebotar se alejarían, ya que estos entran por "arriba".
Aun así, si de alguna manera admitimos que los rayos pueden venir de "abajo" entonces siguiendo un razonamiento similar se llega a que el punto donde se debe colocar el receptor es
$$\left(-\frac{b}{2a},-\frac{1}{4}+c-\frac{b^2}{4a}\right).
$$
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