¿Antenas parabólicas?

Hoy vamos a estudiar por qué las antenas parabólicas tienen forma parabólica. Esto no es un capricho de diseño, sino una solución. Estas antenas cuentan con un receptor situado en un punto concreto, el cual no está para nada elegido al azar. En este post se justificará por qué se elige ese punto. Las antenas parabólicas tienen forma de "paraboloide". Esto es simplemente la superficie que se obtiene rotando una parábola sobre su eje. Por tanto, para todas las demostraciones que haremos en este post nos bastará considerar una simple parábola. 

Sin entrar demasiado en detalles físicos, supondremos que la antena recibe información en forma de rayos. Como los satélites que envían estos rayos se encuentra a bastante distancia, supondremos además que estos rayos llegan paralelos a la superficie terrestre. Es decir, la situación sería algo como lo que se muestra en la imagen. 

Es conocido que los rayos que rebotan en una superficie lo hacen con un ángulo de salida igual al ángulo de entrada (medido ambos sobre la perpendicular a la superficie). En este dibujo podemos ver un ejemplo. 

Ahora bien, la antena parabólica no es una superficie recta, sin embargo en cada punto de su superficie podemos considerar el plano tangente. Este plano es el que tenemos que tomar como referencia para ver cómo sale el rayo tras rebotar. Como estamos considerando simplemente una parábola, este plano será la recta tangente que pasa por dicho punto. 

Bien, a partir de aquí vamos a estudiar cómo salen los rayos que entran perpendiculares a la superficie terrestre. Para ello consideramos la parábola $y=x^2$, y por tanto, la superficie terrestre es paralela al eje $X$ y los rayos vienen paralelos al eje $Y$. 

Los rayos que caen no serían más que rectas el tipo $x=x_0$, es decir, rectas verticales. Estas rectas tocarán a la parábola en el punto $(x_0,x_0^2)$, ya que hemos supuesto que la parábola tiene como ecuación $y=x^2$. Es bien conocido que la pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada en dicho punto. En nuestro caso sería $y'=2x$ y por tanto la pendiente en el punto $x_0$ sería simplemente $2x_0$.

También es sabido que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma la recta con el eje $X$. Es decir, que $2x_0=\tan\alpha$ donde $\alpha$ se marca en el siguiente dibujo.

La cuestión ahora es calcular la ecuación  de la recta que forma el rayo reflejado. Para ello nos fijamos en que el ángulo que realiza con el eje $X$ es $\frac{\pi}{2}-2\alpha$ como vemos en el dibujo.

Este ángulo está medido por debajo del eje $X$, así que debemos considerarlo cambiado de signo para que esté bien medido, es decir,  $2\alpha-\frac{\pi}{2}$. Recordando las fórmulas trigonométricas de los ángulos complementarios deducimos que la pendiente de la recta que buscamos es

$$
m=\tan\left(2\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sin(2\alpha-\pi/2)}{\cos(2\alpha-\pi/2)}=
\frac{-\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}=\frac{-1}{\tan(2\alpha)}.
$$

Utilizando ahora la fórmula de la tangente de la suma de ángulos
$$
\tan(A+B)=\frac{\tan(A)+\tan(B)}{1-\tan(A)\tan(B)}
$$
se obtiene que
$$
\tan(2\alpha)=\frac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}.
$$

Como teníamos que $\tan(\alpha)=2x_0$, deducimos finalmente que la pendiente de la recta que buscamos es 

$$
m=\frac{-1}{\tan(2\alpha)}=-\frac{1-4x_0^2}{4x_0}=x_0-\frac{1}{4x_0}.
$$

Ya sabiendo la pendiente de la recta y teniendo en cuenta que esta pasa por el punto $(x_0,x_0^2)$ podemos sacar la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente, con lo que obtenemos
$$
y-x_0^2=\left(x_0-\frac{1}{4x_0}\right)(x-x_0).
$$
Operando la expresión anterior llegamos a que
$$
y=x\left(x_0-\frac{1}{4x_0}\right)+\frac{1}{4}.
$$

Esta es la expresión de la recta del rayo tras rebotar que se obtiene para cualquier punto $x_0$. Podemos observar que independientemente del valor $x_0$ la recta siempre pasa por el punto $(0,1/4)$. Entonces es en este punto donde debemos colocar el receptor para que cualquier rayo que rebote en la antena pueda ser recibido. 

DETALLES TÉCNICOS

Para los más puristas, hay un par de detalles que hay que comentar. El primero es que todo el razonamiento anterior no es válido si $\alpha=0$, ya que tendríamos un cero en el denominador. El punto donde la parábola tiene como recta tangente una recta con pendiente cero, es decir, una recta horizontal, es claramente el punto $(0,0)$. En este caso el rayo pasa directamente por el receptor. 

Tampoco es válido del todo la prueba cuando $1-\tan^2(\alpha)=0$, ya que anula al denominador. En este caso el ángulo que verifica esta igualdad es $\pm\pi/4$. Como $\tan(\pm\pi/4)=\pm 1=2x_0$, entonces los puntos donde la recta tangente tiene estos ángulos son $x_0=\pm 1/2$. Entonces los rayos verticales coinciden con las rectas $x=\pm 1/2$, que cortan a la parábola en los puntos $(\pm 1/2,1/4)$. Como hacen un ángulo de $\pm\pi/4$ con la horizontal, es claro que el rayo reflejado sale paralelo al eje $X$, y por tanto, este rayo coincide con la recta $y=1/4$, que pasa precisamente por el receptor.

Otro detalle importante es que todo el razonamiento que hemos hecho es válido para cualquier tipo de parábola, aunque claro está el receptor no estará en el mismo lugar. Para ver esto imaginemos que la parábola es de la forma $y=ax^2+bx+c$ con $a> 0$. En este caso sumando y restando el término
$b^2/4a$ obtenemos que
$$
y=ax^2+bx+c+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{4a}=\left(\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}.
$$

Ahora llamando
$$
z=\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}}
$$
obtenemos la ecuación
$$
y=z^2+c-\frac{b^2}{4a}.
$$Esta es la misma parábola que teníamos al principio (pero en la variable $z$) desplazada $c-b^2/4a$ en dirección vertical. La pendiente de las rectas tangentes no cambia porque estamos sumando una constante. La única diferencia en el razonamiento del post sería que ahora la recta para por el punto $(z_0,z_0^2+c-b^2/4a)$, por lo que ahora el receptor nos saldrá que debe estar colocado en el punto
$$
\left(0,\frac{1}{4}+c-\frac{b^2}{4a}\right).
$$
Esto es en los ejes $Z,Y$. Si queremos saber qué punto es este en los ejes originales tan solo tenemos que deshacer el cambio sustituyendo el valor $z=0$. Despejando $x$ nos da que el punto donde hemos de colocar el receptor en una parábola del tipo $ax^2+bx+c$ es el punto
$$
\left(-\frac{b}{2a},\frac{1}{4}+c-\frac{b^2}{4a}\right),
$$

algo lógico teniendo en cuenta que el eje de una parábola es la recta $x=-b/2a$. 

Esto es si $a>0$. Si $a<0$ entonces la antena estaría apuntando hacia "abajo" y los rayos al rebotar se alejarían, ya que estos entran por "arriba". 

Aun así, si de alguna manera admitimos que los rayos pueden venir de "abajo" entonces siguiendo un razonamiento similar se llega a que el punto donde se debe colocar el receptor es 

$$
\left(-\frac{b}{2a},-\frac{1}{4}+c-\frac{b^2}{4a}\right).
$$

EL PROBLEMA DE LAS CERILLAS

Recientemente he visto este problema en Twitter. Consiste en probar que los puntos rojos están alineados.

El usuario que lo propone es @panlepan y en el hilo del tweet original podréis ver numerosas soluciones. Muchas de ellas realmente elegantes. 

Aquí el hilo https://twitter.com/panlepan/status/1416812851205918722?s=21

UNA POSIBLE SOLUCIÓN

Veamos ahora la solución que propongo. Por supuesto, admitimos que todas las cerillas miden lo mismo. Bien, al ser un problema geométrico, los triángulos rectángulos van a ser nuestros amigos, así que vamos a trazar algunas líneas extras.

Obviamente la imagen anterior no está bien dibujada, ya que los puntos rojos deberían estar alineados, pero así podremos entendernos mejor. 

Los triángulos rectángulos que vamos a manejar son los siguientes. El primero es el formado por los segmentos verde, azul y la mitad de la cerilla superior.  El segundo triángulo es el compuesto por los segmentos morado, rosa y el formado por la cerilla superior y la línea amarilla. Es decir, estos dos triángulos negros de aquí. 

La cuestión es, que si los puntos rojos estuvieran alineados, entonces estos dos triángulos serían semejantes, ya que ambos tendrían los mismos ángulos. Y recíprocamente, estarán alineados si tales triángulos son semejantes. Para comprobar que dos triángulos rectángulos son semejantes nos basta con comprobar que el cociente de las longitudes de dos de sus lados es la misma. En particular podemos calcular las longitudes de los catetos de ambos triángulos y calcular su cociente.  

Comencemos con el triángulo más pequeño. Si la longitud de cada cerilla es $L$, (como se verá, el resultado es completamente independiente de este valor) entonces es claro que uno de los catetos de este triángulo mide $L/2$. El otro cateto se corresponde con el segmento azul de la primera imagen, y es claro que este segmento más la longitud del segmento naranja coincide con la longitud de las cerillas, es decir, el segmento azul más el naranja miden $L$. Ahora bien, el segmento naranja no es más que la altura del triángulo equilátero formado por las tres cerillas de abajo. Esta altura es precisamente $\frac{\sqrt{3}}{2}L$. Para el que no sepa como se deduce esto, basta con usar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por la altura del triángulo equilátero, uno de sus lados y la mitad de la base. Entonces la longitud del segmento azul es la longitud de las cerillas menos esta cantidad, es decir, es 

$$
L-\frac{\sqrt{3}}{2}L = L\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
$$

Si hacemos el cociente del cateto menor entre el mayor se obtiene  

$$
\frac{L\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{L/2}=2-\sqrt{3}.
$$

En cuanto al triángulo grande, el cateto rosa es claramente la mitad de la longitud de las cerillas, es decir, $L/2$. El cateto mayor es la suma de la longitud de una cerilla más la longitud del segmento amarillo, el cual es de nuevo la altura de un triángulo equilátero de lado $L$, y al igual que antes su valor es $\frac{\sqrt{3}}{2}L$, luego el cateo mayor mide 

$$
L+\frac{\sqrt{3}}{2}L=L\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
$$

Por tanto el cociente del cateto menor entre el mayor es $$
\frac{L/2}{L\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}.
$$

Entonces efectivamente, ambos triángulos son semejantes y por lo tanto los tres puntos rojos están alineados. 

¿Qué os ha parecido este problema? ¿Fácil o complicado? Os invito a que veáis las soluciones que se dan en el hilo del tweet y que os animéis a escribir las vuestras propias.  

11111…

 Los números primos son los bloques fundamentales con los que se construyen el resto de números. El teorema fundamental de la aritmética nos garantiza que todo número se descompone de manera única (salvo orden) en producto de números primos.

Conocer tal descomposición no es un problema sencillo, de hecho esta dificultad es la base de los sistemas de seguridad informáticos. En este post vamos a ver una particularidad que tienen los números formados únicamente por "unos" y los números primos. En concreto, vamos a ver el siguiente resultado:

Para todo primo $p$ distinto de $2$ y $5$ existe un número entero formado solo por "unos" (en base 10) que tiene a $p$ como divisor. 

Es decir, para cualquier primo que no sea ni 5 ni 2, como por ejemplo el 13, hay un número como el 1111 tal que 13 es uno de sus divisores. Veamos cómo se prueba este resultado.

Demostración:

Lo primero es ver cómo son los números formados por unos. Por ejemplo, para 111 nos damos cuenta de que $$111=\frac{999}{9}=\frac{1000-1}{9}=\frac{10^3-1}{9}.$$

Con este ejemplo es fácil darse cuenta de que un número formado por $n$ "unos" es de la forma $$\frac{10^n-1}{9}.$$ Ahora que ya tenemos estos números caracterizados, tomamos $p$ un primo distinto de $2$ y $5$ e intentamos buscar $n$ tal que $p$ divida a $(10^n-1)/9$. Si $p\neq 3$, entonces $p$ dividirá al número anterior si y solo si divide al numerador $10^n-1$, ya que al dividir $10^n-1$ entre $9$ tan solo le hemos quitado el factor $3^2$ en su descomposición. 

Ahora bien, que $p$ divida a $10^n-1$ es equivalente a decir que $$10^n-1\equiv 0 \mod{p},$$ o lo que es lo mismo, que $$10^n\equiv 1 \mod{p},$$ es decir, que dividir $10^n$ entre $p$ da como resto $1$. Ahora podemos invocar el conocido como pequeño teorema de Fermat, el cual nos dice que:

Si $p$ es primo y $a$ es un entero que no es múltiplo de $p$, entonces 

$$a^{p-1}\equiv 1 \mod{p}.$$

En nuestro caso, como $p$ no era ni $2$ ni $5$, el número $10^n$ no es múltiplo de $p$ por lo que al aplicar el pequeño teorema de Fermat deducimos que

$$
10^{p-1}\equiv 1\mod{p}.
$$

Por tanto, queda probado que para $p$ primo distinto de $2,3$ y $5$ el número por $p-1$ "unos" es un múltiplo de $p$. Para $p=3$ también se cumple el resultado, ya que por ejemplo, $3$ divide a $111$.

De esta demostración podemos sacar una conclusión más, y es que no solo hemos probado la existencia del número formado por "unos", también hemos descrito cómo es. Este es, salvo para $p=3$, un número formado por $p-1$ "unos". Es decir, si tomamos un primo como el 29, entonces el número formado por 28 "unos" es un múltiplo de de 29. ¿No es sorprendente?

 Recíprocamente, si nos dan un número formado por $n$ "unos" y resulta que $n+1$ es primo entonces este es uno de sus divisores. Por ejemplo, el $1\ 111\ 111\ 111$ Está formado por 10 “unos”, y como 11 es primo entonces el número anterior se pude dividir por 11. Haciendo uso de la calculadora podemos comprobar que efectivamente $$\frac{1\ 111\ 111\ 111}{11}=101\ 010\ 101.$$

Es cierto que es un criterio que solo se puede usar en contadas ocasiones, pero por ello, a mi no me deja de parecer bello. ¿Qué os ha parecido este resultado? ¿Lo conocíais ya? Os invito a dejar vuestras opiniones en los comentarios.

Primer post: Números complejos reales e imaginaros puros

Hola amantes e interesados de las matemáticas. Este es el primer post del blog y vamos a tratar un problema que será muy sencillo para los que tengáis experiencia en el mundo de los números complejos y no muy complicado para los que estéis estudiando los números complejos por primera vez.

El problema es el siguiente:

Halla $a$ para que $\frac{3+2i}{a+6i}$ sea:

a) Un número real.

b) Un número imaginario puro.

Solución habitual

El procedimiento habitual que se suelen aprender los estudiantes de bachillerato es escribir el número anterior en forma binómica e imponer que uno de los dos sumandos sea cero. Para ello se elimina primero la unidad imaginaria del denominador multiplicando por el conjugado en numerador y denominador, es decir, hacemos  $$\frac{3+2i}{a+6i}\cdot\frac{a-6i}{a-6i}.$$

Gracias a la igualdad notable $(x+y)\cdot(x-y)=x^2-y^2$ y recordando que $i^2=-1$ se obtiene que  

$$\frac{3+2i}{a+6i}\cdot\frac{a-6i}{a-6i}=\frac{3a-18i+2ai-12i^2}{a^2-(6i)^2}=\frac{3a+12-18i+2ai}{a^2+36}.$$

Si ahora sacamos factor común la $i$ y separamos la fracción se obtiene

$$
\frac{3a+12-18i+2ai}{a^2+36i}=\frac{3a+12+i(-18+2a)}{a^2+36}=\frac{3a+12}{a^2+36}+i\frac{-18+2a}{a^2+36}.
$$

Por tanto, la parte real del número es $\frac{3a+12}{a^2+36}$ y su parte imaginaria es $\frac{-18+2a}{a^2+36}$. Entonces, si queremos que el número sea real tendremos que imponer que la parte imaginaria sea cero. Como una fracción es cero si y solo si su numerador es cero, obtenemos 

$$\frac{-18+2a}{a^2+36}=0\quad\Longrightarrow\quad -18+2a=0\quad\Longrightarrow\quad a=9.$$

Si queremos que el número sea imaginario puro, entonces hemos de imponer que su parte real sea igual a cero. De la misma manera que antes obtenemos 

$$\frac{3a+12}{a^2+36}\quad\Longrightarrow\quad 3a+12=0 \quad\Longrightarrow\quad a=-4.$$

Una solución más inteligente

El procedimiento anterior aunque efectivo, no resulta demasiado atractivo. Veamos otra posible solución. En realidad la fracción $\frac{3+2i}{a+6i}$ es un cociente de números complejos. La mayoría sabréis que si tenemos dos números complejos en su forma polar, es decir, de la forma $z_1=re^{i\alpha}$ y  $z_2=s e^{i\beta}$, (o para los estudiantes de bachillerato, $z_1=r_{\alpha}$ y $z_2=s_{\beta}$) entonces $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r}{s}e^{i(\alpha-\beta)}.$$

Podemos aprovechar esta propiedad en nuestro favor. Si queremos que el resultado sea un número real, entonces su argumento debe ser $0$ ó $\pi$, mientras que si queremos que el resultado sea imaginario puro entonces el argumento debe ser $\pi/2$ ó $3\pi/2$. 

Si queremos que $z_1/z_2$ sea real, podemos ver $z_1$ y $z_2$ como vectores sobre el plano complejo, entonces sus argumentos diferirán $0$ ó $\pi$ si son paralelos. 

 

         

En estos ejemplos el cociente $z_1/z_2$ será real.

Ahora bien, para ver si dos vectores son paralelos tan sólo hemos de comprobar que son proporcionales. En nuestro ejemplo, tenemos que $z_1=3+2i$ y $z_2=a+6i$, que vistos como vectores del plano real se corresponden con $(3,2)$ y $(a,6)$. Para que sean proporcionales se deberá verificar que 

$$\frac{3}{a}=\frac{2}{6},$$

de donde despejando obtenemos $a=9$. ¿Bastante más rápido que el primer método no? Partiendo de $\frac{3+2i}{a+6i}$ tan sólo hemos tenido que dividir las partes reales de numerador y denominador  (o sea, $3/a$), igualarlo al cociente de las partes imaginarias ($2/6$) y despejar $a$. 

Si ahora queremos que $z_1/z_2$ sea imaginario puro, entonces sus argumentos deben diferir en $\pi$ ó $3\pi/2$, es decir, que vistos como vectores deben ser perpendiculares. 

En estos ejemplos el cociente $z_1/z_2$ será imaginario puro.

Por suerte para nosotros, sabemos que dos vectores reales son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero. Por lo tanto, si vemos de nuevo $z_1$ y $z_2$ como vectores, tan solo hemos de imponer que su producto escalar real sea cero para averiguar el valor de $a$. Como $z_1$ y $z_2$ eran $(3,2)$ y $(a,6)$ vistos como vectores entonces 

$$
(3,2)\cdot (a,6)=0\quad\Longrightarrow\quad 3a+12=0\quad\Longrightarrow\quad a=-4.$$

Como vemos, razonando con las propiedades de los números complejos y del plano real hemos conseguido resolver el problema más rápido, y a mi modo de ver, de una manera más elegante. 

La idea para este post me vino al ver un vídeo de un youtuber que "enseña" a resolver problemas. La sensación que tuve al verlo fue que más que enseñar, lo único que pretendía el vídeo era dar un método mecánico para resolver el problema, el cual es la solución habitual que hemos visto. Sin embargo, quería mostrar que razonando y no actuando de manera mecánica se pueden obtener otras formas de resolución, que aunque necesiten un razonamiento un poco más complejo, nos llevan sin embargo a soluciones más sencillas y elegantes.

Seguramente haya otras formas de resolver este problema. Si conocéis, se os ocurren otras formas, o queréis dar vuestra opinión os invito a dejarlas en los comentarios.